전자공학이 등장하기 훨씬 전, 과학에서 가장 어려운 연산은 축과 기어로 만들어진 기계가 처리했다. 그 중 가장 위대한 기계의 핵심이 Vannevar Bush가 1931년경 MIT에서 제작한 미분 해석기이며, 여기 전시된 휠-디스크 적분기가 바로 그 핵심 부품이다. 납작한 강철 원판이 축을 중심으로 회전하며, 이 회전이 입력 변수가 된다. 작은 마찰 바퀴가 원판 면 위에 올라타고, 캐리지가 반지름 방향으로 바퀴를 안팎으로 밀어낸다. 바퀴가 원판 중심에서 멀어질수록 더 빠르게 끌려 돌아간다 — 이렇게 바퀴 자체의 회전이 캐리지 위치가 나타내는 함수 아래 면적을 끊임없이 누적한다. 바퀴의 각도가 곧 적분이다.
이 관계는 정확하고 순전히 기계적이다: 부호 있는 반지름 r 위치에 바퀴가 있을 때 원판이 미소 스텝 dx 회전하면 바퀴는 dφ = (r ⁄ R) dx 회전하며, 전체 행정 후 φ = (1 ⁄ R) ∫ r dx가 된다. 캐리지를 중심 너머로 이동시키면 r이 음수가 되어 적분이 역방향으로 감소한다. 이 전시물은 그 운동학을 실제로 구동한다: 코사인을 선택하면 바퀴 각도가 사인을 추적하고, 경사면을 선택하면 포물선을 그린다. 실시간 그래프가 기계적인 바퀴 각도를 정확한 적분 위에 겹쳐 표시하며 픽셀 단위로 일치한다. 바퀴의 마찰력이 극히 가볍기 때문에 Bush는 각 적분기가 다음 적분기를 구동할 만큼 충분한 힘을 갖추도록 출력축의 표시된 드럼인 토크 증폭기를 추가해야 했다.
두 적분기를 연결하고, 각각의 출력을 상대방의 반지름으로 피드백하며, 루프 안에 역전 기어 하나를 넣으면 기계는 미분방정식 y″ = −y를 순수히 하드웨어로 풀어낸다. 작동시키면 출력 펜이 완벽한 사인 곡선을 그린다 — 회전하는 황동과 강철만으로 빚어낸 파동이다. 그 기어를 반대로 뒤집으면 같은 기계가 지수 함수적으로 발산한다. 이 아이디어는 1876년으로 거슬러 올라가며, James Thomson과 그의 형제 Lord Kelvin이 조류 예측을 위해 휠-디스크 적분기를 처음 기술했다. 재건된 이 전시물은 한 걸음 더 나아갑니다. 차동 기어 가산기가 마찰을 방정식에 끌어들이고, 입력 테이블은 직접 그린 곡선을 적분하며, 네 대의 적분기가 협력해 sin y를 즉석에서 만들어 완전한 비선형 진자를 흔듭니다 — 부시의 기계를 유명하게 만든 바로 그 기법입니다.
미분 해석기는 아날로그 컴퓨터다: 숫자를 각도로 표현하고 운동으로 미적분을 수행한다. 그 디지털 후계자들은 숫자를 비트로 표현하고 논리로 산술을 수행한다 — DigiSim의 Logic Lab에서 게이트 하나하나를 연결해 구현할 수 있는 바로 그 산술이다. 이곳에 서서 맞물리는 기어들 사이에서 사인 곡선이 나타나는 것을 지켜보면, 황동에서 실리콘까지의 여정이 갑자기 매우 가깝게 느껴진다.
사양
- 원리
- 휠-디스크 적분기: dφ = (r ⁄ R) dx ⇒ φ = (1 ⁄ R) ∫ r dx
- 메커니즘
- 회전 원판 위의 마찰 바퀴, 리드 스크류 캐리지로 반지름 설정
- 루프
- 적분기 2대 + 역전 기어로 y″ = −y 해결 → 기어가 사인 곡선을 그림
- 시뮬레이션 내용
- 기계의 상태는 오직 축 각도뿐. 증분은 기어를 따라 단계적으로 전달되며, 펜은 축계가 계산한 것만 그립니다
- 프로그램
- 사인 · 지수 · 감쇠 진동 · 진자(y″ = −sin y) · 직접 그린 곡선의 면적
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