Mucho antes de la electrónica, los cálculos más complejos de la ciencia los resolvían máquinas de ejes y engranajes. El corazón de la mayor de ellas — el Analizador Diferencial de Vannevar Bush, construido en el MIT hacia 1931 — es el integrador de rueda y disco que ves aquí. Un disco plano de acero gira sobre su eje; esa rotación es la variable de entrada. Una pequeña rueda de fricción rueda sobre la cara del disco, y un carro la desliza hacia dentro y hacia fuera a lo largo de un radio. Cuanto más alejada del centro esté la rueda, más rápido es arrastrada — de modo que la rotación propia de la rueda acumula continuamente el área bajo la curva que representa la posición del carro. El ángulo de la rueda es la integral.
La relación es exacta y mecánica: gira el disco un pequeño paso dx con la rueda en el radio con signo r, y la rueda gira dφ = (r ⁄ R) dx, por lo que al final de una pasada φ = (1 ⁄ R) ∫ r dx. Mueve el carro más allá del centro y r se vuelve negativo — la integral retrocede. Esta exhibición ejecuta esa cinemática en la vida real: elige coseno y el ángulo de la rueda traza el seno; elige una rampa y dibuja una parábola; el gráfico en vivo superpone el ángulo mecánico de la rueda sobre la integral exacta y coinciden hasta el píxel. El agarre de la rueda es tan ligero que Bush tuvo que añadir un amplificador de par — el tambor etiquetado en el eje de salida — para que cada integrador tuviera la fuerza suficiente para mover el siguiente.
Encadena dos integradores, alimenta la salida de cada uno como el radio del otro, añade un engranaje inversor en el bucle, y la máquina resuelve una ecuación diferencial íntegramente en hardware: y″ = −y. Ponla en marcha y el bolígrafo de salida dibuja una perfecta onda senoidal — una onda conjurada únicamente de latón y acero girando. Invierte ese engranaje y la misma máquina se dispara en una exponencial. La idea se remonta a 1876, cuando James Thomson y su hermano Lord Kelvin describieron por primera vez el integrador de rueda y disco para predecir las mareas. Esta pieza reconstruida va más lejos: un sumador de engranaje diferencial incorpora la fricción, una mesa de entrada integra cualquier curva que dibujes y cuatro integradores trabajan en concierto para generar sen y sobre la marcha y balancear un péndulo no lineal completo: el truco que hizo famosa la máquina de Bush.
Un analizador diferencial es una computadora analógica: representa los números como ángulos y hace cálculo mediante movimiento. Sus descendientes digitales representan los números como bits y hacen aritmética mediante lógica — la misma aritmética que puedes cablear compuerta a compuerta en el Logic Lab de DigiSim. Párate aquí y observa cómo un seno emerge de engranajes que se engranan, y la línea del latón al silicio de repente se vuelve muy corta.
Especificaciones
- Principio
- Integrador de rueda y disco: dφ = (r ⁄ R) dx ⇒ φ = (1 ⁄ R) ∫ r dx
- Mecanismo
- Rueda de fricción sobre un disco giratorio, radio ajustado por un carro de husillo
- El bucle
- Dos integradores + un engranaje inversor resuelven y″ = −y → un seno dibujado por engranajes
- Simulado
- Todo el estado son ángulos de ejes; los incrementos se propagan engranaje a engranaje: la pluma solo traza lo que calculan los ejes
- Programas
- seno · exponencial · oscilación amortiguada · péndulo (y″ = −sen y) · área de una curva dibujada
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