Tables de vérité des portes logiques : le guide de référence essentiel

En bref : une table de vérité répertorie toutes les combinaisons d’entrées possibles et la sortie déterministe produite par une porte logique. Cette référence couvre les sept portes standard — AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR et XNOR — avec leurs expressions booléennes et leurs tables, puis montre à l’aide d’un exemple comment quatre portes NAND peuvent reproduire le comportement d’une porte XOR.

Une table de vérité constitue la spécification définitive d’une porte logique. Elle énumère chaque situation d’entrée possible et l’unique sortie déterministe que la porte produira. Savoir lire et écrire ces tables est une compétence fondamentale de la conception numérique. On retrouvera la même notation dans les tables de Karnaugh, les dérivations en somme de produits et la vérification des circuits.

Les portes élémentaires : primitives du calcul

Les portes fondamentales — AND, OR et NOT — sont les couleurs primaires de notre palette numérique. En théorie, toute fonction logique complexe peut être dessinée à l’aide de combinaisons de ces trois portes.

Porte NOT (l’inverseur)

La porte NOT est la plus simple de toutes. Elle possède une entrée et une sortie, et son rôle consiste à inverser le signal d’entrée. Donnez-lui un 1, elle renvoie un 0 ; donnez-lui un 0, elle renvoie un 1. Elle incarne logiquement l’opposition.

Expression booléenne : $Y = \overline{A}$

Porte AND

La porte AND est celle des conditions. Sa sortie vaut 1 uniquement si toutes ses entrées valent 1. Imaginez un contrôle de sécurité strict : si vous devez présenter à la fois une pièce d’identité et un billet pour entrer, il faut Identité = 1 AND Billet = 1. Dans tout autre cas, la sortie vaut 0.

Expression booléenne : $Y = A \cdot B$

Porte OR

La porte OR est celle des options. Sa sortie vaut 1 dès que l’une quelconque de ses entrées vaut 1. Elle est la contrepartie permissive de la porte AND. Si un billet OU une invitation permet d’entrer dans une salle, il suffit que l’un des deux soit vrai (= 1).

Expression booléenne : $Y = A + B$

La puissance surprenante des portes universelles

En réalité, vous n’avez pas besoin de AND, OR et NOT pour construire n’importe quel circuit numérique. Toute fonction booléenne peut être réalisée avec un seul type de porte. Cette propriété s’appelle l’universalité, et deux portes la possèdent : NAND et NOR.

Pourquoi est-ce important ? Dans la fabrication, la régularité est reine. Produire des millions de transistors afin de créer un seul type de porte, par exemple NAND, est bien plus efficace et économique que d’en fabriquer plusieurs types différents. C’est l’un des secrets de l’économie des puces en silicium.

Porte NAND (NOT-AND)

Une porte NAND est une porte AND suivie d’une porte NOT. Elle produit exactement l’inverse de la sortie AND : sa sortie vaut 0 uniquement si toutes ses entrées valent 1.

Expression booléenne : $Y = \overline{A \cdot B}$

Porte NOR (NOT-OR)

De la même manière, une porte NOR est une porte OR suivie d’une porte NOT. Sa sortie vaut 1 uniquement si toutes ses entrées valent 0.

Expression booléenne : $Y = \overline{A + B}$

Pour démontrer leur universalité, construisons les trois portes élémentaires en n’utilisant que des NAND :

• Porte NOT : reliez ensemble les deux entrées d’une porte NAND. L’entrée A se retrouve aux deux bornes, si bien que la sortie est $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$.
• Porte AND : faites passer la sortie d’une NAND dans une seconde NAND configurée comme porte NOT. La sortie devient $\overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$.
• Porte OR : inversez les deux entrées A et B avec des NAND utilisées comme NOT, puis envoyez-les dans une troisième NAND. D’après les lois de De Morgan, la sortie vaut $\overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = A + B$.

Les portes exclusives : détecteurs de différence

Ces portes traitent une forme particulière de logique selon que leurs entrées sont identiques ou différentes.

Porte XOR (Exclusive-OR)

La porte XOR signifie « l’un ou l’autre, mais pas les deux ». Sa sortie vaut 1 uniquement lorsque ses entrées sont différentes. Ce comportement se révèle particulièrement utile pour l’arithmétique et la détection d’erreurs.

Expression booléenne : $Y = A \oplus B = \overline{A}B + A\overline{B}$

Porte XNOR (Exclusive-NOR)

La porte XNOR est l’inverse logique de XOR. C’est un détecteur d’égalité : sa sortie vaut 1 uniquement lorsque ses entrées sont identiques.

Expression booléenne : $Y = \overline{A \oplus B} = AB + \overline{A}\overline{B}$

Simulation sur digisim.io

Construire un circuit rend la table de vérité concrète. Pour démontrer l’universalité de NAND, réalisons une porte XOR à l’aide de quatre portes NAND.

1. Ouvrez l’espace de travail : accédez au simulateur digisim.io. Un canevas vide apparaît.
2. Placez les composants :

• Faites glisser deux interrupteurs d’entrée sur le canevas et nommez-les « A » et « B ».
• Ajoutez quatre portes NAND à 2 entrées.
• Ajoutez une LED de sortie et nommez-la « Y ».

3. Câblez le circuit :

• Reliez l’entrée A à la première entrée de la porte NAND n° 1 et à la première entrée de la NAND n° 2.
• Reliez l’entrée B à la seconde entrée de la NAND n° 1 et à la première entrée de la NAND n° 3.
• Reliez la sortie de la NAND n° 1 à la seconde entrée des NAND n° 2 et n° 3.
• Reliez la sortie de la NAND n° 2 à la première entrée de la NAND n° 4.
• Reliez la sortie de la NAND n° 3 à la seconde entrée de la NAND n° 4.
• Enfin, reliez la sortie de la NAND n° 4 à la LED de sortie « Y ».

4. Testez la table de vérité : basculez maintenant les interrupteurs A et B et observez la LED.

• A=0, B=0 : la LED est ÉTEINTE (0).
• A=0, B=1 : la LED est ALLUMÉE (1).
• A=1, B=0 : la LED est ALLUMÉE (1).
• A=1, B=1 : la LED est ÉTEINTE (0).

Vous venez de vérifier expérimentalement la table de vérité d’une porte XOR en n’utilisant que des NAND. Vous avez démontré le principe d’universalité de façon pratique et interactive.

Applications concrètes

Ces portes abstraites accomplissent le travail quotidien à l’intérieur des appareils que vous utilisez.

1. XOR dans le contrôle de parité de la RAM : la mémoire de votre ordinateur (DRAM) n’est pas parfaite ; des bits peuvent parfois basculer sous l’effet du rayonnement ou du bruit électrique. Pour le détecter, de nombreux systèmes utilisent un bit de parité. Pour 8 bits de données, un neuvième bit est mémorisé et calculé en appliquant XOR aux 8 bits de données. Si un nombre impair de bits vaut 1, le résultat XOR — le bit de parité — vaut 1 ; s’il est pair, il vaut 0. Lors de la lecture, le calcul est recommencé. Si le nouveau résultat ne correspond pas au bit de parité enregistré, le système sait qu’une erreur s’est produite.
2. AND dans les unités arithmétiques et logiques (ALU) des processeurs : l’ALU est le cerveau mathématique d’un processeur. Lorsqu’un programme exécute une opération AND bit à bit, le processeur achemine directement ces bits vers une banque de portes AND de l’ALU. Cette opération est également essentielle au « masquage », une technique qui isole certains bits d’un octet. Pour savoir, par exemple, si le quatrième bit d’un octet D vaut 1, un programme peut calculer D AND 00001000. Si le résultat n’est pas nul, le bit était actif. Ce test élémentaire, exécuté des milliards de fois par seconde, repose directement sur la table de vérité de la porte AND.

Les tables de vérité ne sont pas seulement une référence à mémoriser. Elles servent d’outil de conception, d’aide au débogage et de spécification définitive pour les composants fondamentaux du monde numérique.

Poursuivez avec Logique numérique 101 pour câbler vous-même chacune de ces portes, ou passez directement aux fondements de l’algèbre booléenne afin de manipuler les équations qui se cachent derrière les tables.