Tablas de verdad de puertas lógicas: guía de referencia esencial

Resumen: Una tabla de verdad enumera cada combinación posible de entradas y la salida determinista que produce una puerta lógica. Esta referencia cubre las siete puertas estándar —AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR y XNOR— con expresiones booleanas y tablas, además de un ejemplo desarrollado que muestra cómo cuatro puertas NAND pueden reproducir el comportamiento XOR.

Una tabla de verdad es la especificación definitiva de una puerta lógica. Enumera cada escenario de entrada posible y la única salida determinista que producirá la puerta. Leer y escribir tablas de verdad es la habilidad fundamental del diseño digital: la misma notación aparece después en los mapas de Karnaugh, las derivaciones de suma de productos y la verificación de circuitos.

Las puertas básicas: los elementos primitivos de la computación

Las puertas fundamentales —AND, OR y NOT— son los colores primarios de nuestra paleta digital. En teoría, toda función lógica compleja puede pintarse mediante combinaciones de estas tres.

Puerta NOT (el inversor)

La puerta NOT es la más simple de todas. Tiene una sola entrada y una sola salida. Su trabajo es invertir la señal de entrada. Si le das un 1, devuelve un 0. Si le das un 0, devuelve un 1. Es la encarnación lógica de la oposición.

Expresión booleana: $Y = \overline{A}$

Puerta AND

La puerta AND es la puerta de las condiciones. Produce un 1 solo si todas sus entradas son 1. Piensa en ella como un estricto punto de control de seguridad: si necesitas tanto identificación como una entrada para acceder, necesitas ID = 1 AND Ticket = 1. Cualquier cosa menor da como salida 0.

Expresión booleana: $Y = A \cdot B$

Puerta OR

La puerta OR es la puerta de las opciones. Produce un 1 si alguna de sus entradas es 1. Es la contraparte permisiva de la puerta AND. Si puedes entrar a un recinto con una entrada OR una invitación, solo necesitas que una de ellas sea verdadera (= 1) para acceder.

Expresión booleana: $Y = A + B$

El sorprendente poder de las puertas universales

En realidad no necesitas AND, OR y NOT para construir cualquier circuito digital. Toda función booleana puede construirse usando un único tipo de puerta. Esta propiedad se llama universalidad, y las dos puertas que la poseen son NAND y NOR.

¿Por qué es importante? En fabricación, la consistencia es crucial. Fabricar millones de transistores para crear un solo tipo de puerta (como NAND) es mucho más eficiente y rentable que crear varios tipos diferentes. Ese es el secreto de la economía de los chips de silicio.

Puerta NAND (NOT-AND)

La puerta NAND es una puerta AND seguida de una puerta NOT. Produce la salida exactamente opuesta a la de una puerta AND. Produce un 0 solo si todas sus entradas son 1.

Expresión booleana: $Y = \overline{A \cdot B}$

Puerta NOR (NOT-OR)

Del mismo modo, la puerta NOR es una puerta OR seguida de una puerta NOT. Produce un 1 solo si todas sus entradas son 0.

Expresión booleana: $Y = \overline{A + B}$

Para demostrar su universalidad, puedes construir las tres puertas básicas usando únicamente puertas NAND:

• Puerta NOT: Une las entradas de una puerta NAND. Una entrada A pasa a ser A en ambas entradas, de modo que la salida es $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$.
• Puerta AND: Pasa la salida de una puerta NAND por una puerta NAND configurada como puerta NOT. La salida es $\overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$.
• Puerta OR: Invierte ambas entradas A y B (usando puertas NAND como NOT) y aliméntalas a una tercera puerta NAND. Por las leyes de De Morgan, la salida es $\overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = A + B$.

Las puertas exclusivas: los detectores de diferencia

Estas puertas manejan un tipo especial de lógica basado en si las entradas son iguales o diferentes.

Puerta XOR (OR exclusiva)

La puerta XOR es la puerta de «una u otra, pero no ambas». Produce un 1 solo cuando sus entradas son diferentes. Este comportamiento es extremadamente útil para la aritmética y la comprobación de errores.

Expresión booleana: $Y = A \oplus B = \overline{A}B + A\overline{B}$

Puerta XNOR (NOR exclusiva)

La puerta XNOR es la inversa lógica de XOR. Es un detector de igualdad: produce un 1 solo cuando sus entradas son iguales.

Expresión booleana: $Y = \overline{A \oplus B} = AB + \overline{A}\overline{B}$

Simulación en digisim.io

Construir un circuito convierte una tabla de verdad en algo concreto. Para demostrar la universalidad de la puerta NAND, construye una puerta XOR a partir de cuatro puertas NAND.

1. Abre el espacio de trabajo: Navega al simulador de digisim.io. Verás un lienzo vacío.
2. Coloca componentes:

• Arrastra dos interruptores de entrada al lienzo. Etiquétalos «A» y «B».
• Arrastra cuatro puertas NAND de 2 entradas al lienzo.
• Arrastra un LED de salida al lienzo. Etiquétalo «Y».

3. Cablea el circuito:

• Conecta la entrada A a la primera entrada de la puerta NAND n.º 1 y a la primera entrada de la puerta NAND n.º 2.
• Conecta la entrada B a la segunda entrada de la puerta NAND n.º 1 y a la primera entrada de la puerta NAND n.º 3.
• Conecta la salida de la puerta NAND n.º 1 a la segunda entrada tanto de la puerta NAND n.º 2 como de la puerta NAND n.º 3.
• Conecta la salida de la puerta NAND n.º 2 a la primera entrada de la puerta NAND n.º 4.
• Conecta la salida de la puerta NAND n.º 3 a la segunda entrada de la puerta NAND n.º 4.
• Por último, conecta la salida de la puerta NAND n.º 4 al LED de salida «Y».

4. Prueba la tabla de verdad: Ahora, conmuta los interruptores de entrada A y B y observa el LED.

• A=0, B=0: el LED está APAGADO (0).
• A=0, B=1: el LED está ENCENDIDO (1).
• A=1, B=0: el LED está ENCENDIDO (1).
• A=1, B=1: el LED está APAGADO (0).

Acabas de verificar experimentalmente la tabla de verdad de una puerta XOR usando solo puertas NAND. Has demostrado el principio de universalidad de una forma práctica e interactiva.

Casos de uso en el mundo real

Estas puertas abstractas son los caballos de batalla dentro de los dispositivos que usas todos los días.

1. XOR en la comprobación de paridad de RAM: La memoria de tu ordenador (DRAM) no es perfecta; los bits pueden cambiar ocasionalmente debido a radiación o ruido eléctrico. Para detectarlo, muchos sistemas usan un bit de paridad. Por cada 8 bits de datos se almacena un noveno bit. Este bit se calcula aplicando XOR a los 8 bits de datos. Si un número impar de bits es 1, el resultado de XOR (el bit de paridad) es 1. Si el número es par, es 0. Cuando se vuelven a leer los datos, se realiza de nuevo el cálculo. Si el nuevo resultado no coincide con el bit de paridad almacenado, el sistema sabe que se ha producido un error.
2. AND en las unidades aritmético-lógicas (ALU) de la CPU: La ALU es el cerebro matemático de una CPU. Cuando realizas una operación AND a nivel de bits en un lenguaje de programación, la CPU enruta esos bits directamente a un banco de puertas AND dentro de la ALU. Esto también es fundamental para el «enmascaramiento», una técnica usada para aislar bits concretos dentro de un byte. Por ejemplo, para comprobar si el cuarto bit de un byte D está establecido, un programador podría calcular D AND 00001000. Si el resultado no es cero, el bit estaba establecido. Esta sencilla prueba, ejecutada miles de millones de veces por segundo, se basa directamente en la tabla de verdad de la puerta AND.

Las tablas de verdad son más que una referencia para memorizar. Son una herramienta de diseño, una ayuda de depuración y la especificación definitiva de los bloques de construcción de nuestro mundo digital.

Continúa con Lógica digital 101 para cablear tú mismo cada una de estas puertas, o avanza a fundamentos de álgebra booleana para manipular las ecuaciones que hay detrás de las tablas.