직렬 스위치: AND에 숨은 논리

이 시리즈의 첫 글에서 우리는 릴레이가 전기로 작동하는 스위치, 즉 한 회로가 다른 회로를 제어하는 장치라는 것을 배웠습니다. 이 장치 하나만으로도 이미 논리의 단서가 보입니다. 하지만 스위치 하나가 답할 수 있는 질문은 하나뿐입니다. 켜짐인가, 꺼짐인가?

계산하는 무언가를 만들려면 스위치들이 함께 작동해야 합니다. 이 글에서는 그 가장 단순한 방법, 즉 두 스위치를 직렬로 연결하는 방법을 다룹니다. 30초면 그릴 수 있는 회로지만, 그 안에는 컴퓨터가 처음으로 필요로 하는 형식 논리의 조각이 접혀 들어 있습니다. 글을 마칠 때쯤이면 AND를 회로도 기호가 아니라 전류가 전선을 흐르는 방식에 관한 물리적 사실로 보게 될 것입니다.

아무도 기억하지 못하는 세상에서 가장 중요한 일

1890년대 중반의 전화 교환국을 떠올려 보세요. 헤드셋을 쓴 교환원들, 대부분 젊은 여성들이 번호가 적힌 잭으로 뒤덮이고 코드가 얽혀 있으며 신호 램프가 빼곡한 긴 목재 패널 앞에 앉아 있습니다. 전화가 오면 램프가 깜박입니다. 교환원은 팔을 뻗어 한 잭에서 다른 잭으로 코드를 꽂고, 멀리 떨어진 두 사람이 통화할 수 있게 합니다. 통화를 끝내면 코드를 뽑고 두 잭은 다시 조용해집니다. 혼잡한 시간에는 한 사람이 열두 통의 전화를 동시에 처리합니다. 대도시 교환국 전체로 보면 수백 명의 교환원, 수천 개의 코드, 수만 개의 잭이 모여 인류가 그때까지 만든 가장 큰 교환 기계를 이루었고, 모든 연결은 사람의 손으로 만들어졌습니다.

이 인간 병목에 불만을 품은 캔자스시티 사업가가 적어도 한 명 있었습니다. 장의사였던 앨먼 스트로저는 지역 전화 교환원이 자신에게 걸려 온 전화를 경쟁 업체로 돌리고 있다고 확신했습니다. 고의였는지는 알 수 없습니다. 그의 대응은 1891년 특허를 받은 스트로저 자동 교환기, 즉 교환원을 완전히 없앤 세계 최초의 실용적인 자동 전화 교환기였습니다. 발신자는 번호를 한 자리씩 돌려 다이얼했고, 첫 글에서 살펴본 장치와 가까운 친척인 전자기식 스텝 릴레이 뱅크가 접점을 차례로 움직여 사람의 개입 없이 통화를 연결했습니다.

스트로저와 그 뒤 수십 년 동안 그의 발명을 다듬은 기술자들은 수천 개의 릴레이를 의도적이고 계산된 조합으로 배선했습니다. 그 조합들이 하루에 수백만 번 되풀이해 답해야 했던 근본적인 질문은, 지금 두 스위치와 램프만으로 답하려는 질문과 정확히 같습니다. 전류가 반드시 통과해야 하는 스위치 사슬이 있을 때, 회로를 닫으려면 어떤 조건이 참이어야 할까요?

하나의 경로, 여러 명의 문지기

가장 단순한 회로를 생각해 봅시다. 배터리, 전선, 램프입니다. 이제 전선을 두 곳에서 끊고, 각 끊긴 곳에 나이프 스위치를 하나씩 둡니다. 이들을 스위치 A와 스위치 B라고 부르겠습니다.

배터리에서 나온 전류의 임무는 하나입니다. 양극에서 출발해 전선을 따라 램프의 필라멘트를 지나 음극으로 돌아오는 것입니다. 이 여정을 마치려면 스위치 A의 틈 그리고 스위치 B의 틈을 모두 통과해야 합니다. 길은 하나뿐이고, 각 스위치는 그 길 위의 관문입니다.

가능성을 하나씩 살펴봅시다.

• A 열림, B 열림. 막힌 곳이 둘입니다. 길이 두 번 끊겼습니다. 램프는 꺼집니다.
• A 닫힘, B 열림. 전류는 스위치 A를 지나지만 곧바로 B의 열린 틈에 부딪힙니다. 더는 갈 수 없습니다. 램프는 꺼집니다.
• A 열림, B 닫힘. 전류가 스위치 B를 통과할 수 있다 해도 그곳까지 도달하지 못합니다. 앞쪽의 스위치 A가 경로를 막고 있습니다. 램프는 꺼집니다.
• A 닫힘, B 닫힘. 모든 관문이 열려 있습니다. 배터리에서 램프를 거쳐 되돌아오는 길이 온전히 이어집니다. 전류가 흐릅니다. 램프가 켜집니다.

네 가지 조합 중 세 가지는 실패합니다. 성공하는 것은 하나뿐입니다. 이유는 구조에 있습니다. 직렬 회로에는 하나의 경로만 있고, 그 경로의 모든 스위치가 협력해야 합니다. 사슬 어디에 있든 스위치 하나가 반대하면 유일한 길은 끊깁니다.

이 논리를 느끼는 데 교과서는 필요 없습니다. 자물쇠를 열려면 열쇠 두 개가 필요할 때, 또는 문서를 승인하려면 서명 두 개가 필요할 때 이미 경험합니다. 둘 다, 아니면 아무것도 없습니다.

진리표: 물리적 옷을 입은 AND

이 규칙을 전자공학에서 쓰는 약식으로 적어 봅시다. 닫힌 스위치는 1(도통, 참), 열린 스위치는 0(비도통, 거짓)으로 봅니다. 램프가 켜졌을 때는 1, 꺼졌을 때는 0으로 봅니다. 스위치 두 개에는 정확히 네 가지 조합이 있습니다.

네 행 중 단 한 행에서만 램프가 켜집니다. 나머지 모든 조합에서는 꺼져 있습니다. 램프는 논리 AND의 물리적 구현입니다. 모든 입력이 동시에 참일 때만 참이 되는 연산입니다.

이것은 존재하는 모든 AND 게이트 데이터시트에 실린 바로 그 네 행의 표입니다. 이제 그 행들이 어디에서 오는지 알게 되었습니다. 수학 교과서에서 누군가 만들어 낸 정의가 아닙니다. 두 곳이 끊긴 전선에서 직접 관찰할 수 있는 사실입니다.

표가 비대칭성, 아니 정확히는 비대칭성이 없음을 어떻게 보여 주는지도 주목해 보세요. 두 번째와 세 번째 행은 모두 0이고 서로 거울상입니다. 스위치 A가 닫히고 B가 열려 있어도, B가 닫히고 A가 열려 있어도 결과는 같습니다. 직렬에서는 전선 위의 위치가 논리를 바꾸지 않습니다. 스위치 A가 배터리에 더 가까운지 B가 더 가까운지는 중요하지 않습니다. 조건은 같습니다. 둘 다여야 하며, 그렇지 않으면 램프는 꺼져 있습니다. AND는 대칭적입니다.

직접 해 보기 — 보기 전에 예측하세요

아래에는 램프와 두 나이프 스위치를 직렬로 연결한 실시간 시뮬레이션이 있습니다. 무엇을 누르기 전에 진리표의 네 행 각각을 예측해 보세요. 어느 경우에 램프가 켜질까요? 어느 경우에 꺼진 채일까요?

그런 다음 네 가지 조합을 하나씩 모두 시험하고, 각 행을 위 표와 비교해 보세요.

실험하면서 다음 세 가지를 살펴보세요.

1. 둘 다 닫은 뒤 스위치 하나만 여세요. 두 스위치가 닫혀 램프가 켜진 상태에서 스위치 A만 열어 보세요. 스위치 B는 여전히 닫혀 있고, 여전히 협력하고 있으며, 경로의 절반을 제공하는데도 램프는 즉시 꺼집니다. 직렬 사슬에서는 어느 위치에서든 열린 스위치 하나가 회로 전체를 거부합니다. 그 거부는 비유가 아니라 물리적 사실입니다.

2. 모든 순서를 시험해 보세요. B를 먼저 닫고 A를 닫아 보세요. A를 먼저 닫고 B를 닫아 보세요. 두 순서 모두 마지막에는 램프가 켜지고, 하나만 닫힌 중간 단계에서는 둘 다 램프가 꺼져 있습니다. 진리표는 어느 방향으로 보아도 대칭입니다. AND는 어느 입력을 먼저 설정했는지 신경 쓰지 않고, 둘 다 함께 설정되었는지만 봅니다.

3. 소리를 켜고 클릭 수를 세어 보세요. 상태가 바뀔 때마다 클릭이 한 번 납니다. 전체 진리표를 순회하려면 네 번 클릭합니다. 두 번 닫고 두 번 여는 것입니다. 1940년대 릴레이 컴퓨터에서는 방 안 가득한 스위치의 리드미컬한 클릭 소리로 엔지니어들이 계산을 추적했습니다. 잘못된 패턴은 어떤 출력 장치가 확인하기도 전에 문제가 있다는 신호가 되었습니다.

직렬 전선을 깊이 이해할 가치가 있는 이유

AND 연산이 논리 회로도의 기호, 즉 평평한 뒷면을 가진 D자 모양으로 승격되면 유용한 일이 생깁니다. 추상화 덕분에 모든 전선을 추적하지 않고도 수백 개의 게이트를 한꺼번에 생각할 수 있습니다. 하지만 그 과정에서 한 가지가 뒤에 남습니다. 왜 규칙이 그런 모양인지에 대한 이유입니다.

AND는 임의의 규칙이 아닙니다. 여러 문지기가 지키는 단일 경로가 필연적으로 보이는 동작입니다. 이 토대는 이후에 나올 내용을 이해하는 데 중요합니다. AND를 연쇄하는 일은 같은 직렬선에 스위치를 더하는 일일 뿐입니다. 스위치 세 개를 직렬로 연결하면 모두 닫혀야 합니다. 스위치가 $n$개라면 $n$개 모두 그래야 합니다. 진리표는 $2^n$행으로 늘어나지만, 램프가 켜지는 행은 여전히 정확히 하나, 모든 입력이 1인 행뿐입니다.

클로드 섀넌은 오늘날 가장 중요한 석사 논문으로 흔히 불리는 MIT의 1937년 석사 논문에서 이를 엄밀하게 정식화했습니다. 섀넌은 모든 스위치 회로를 부울 대수 방정식으로 표현할 수 있고, 모든 부울 표현식을 스위치 회로로 구현할 수 있음을 증명과 함께 보였습니다. 섀넌의 표기에서 직렬 회로는 단순히 곱 $A \cdot B$입니다. 두 인수가 모두 1일 때만 1이 되는 곱입니다. 그의 대수에서 1890년대의 전화 교환원들은 이를 알지 못한 채 한 시간에 수만 번씩 부울 표현식을 실시간으로 계산하고 있었습니다.

섀넌의 통찰은 여기서부터 이 시리즈 끝까지 모든 글의 토대가 됩니다. 그것이 가능했던 이유는 스위치를 직렬로 연결했을 때 누군가 수식으로 쓰기 전부터 이미 수학 연산처럼 동작했기 때문입니다. 우리는 회로에 AND를 강요한 것이 아닙니다. 회로에서 AND를 읽어 낸 것입니다.

방금 배운 것과 다음에 할 일

첫 글에서 시작한 여러분의 사고 도구에 다음을 더해 보세요.

• 직렬 연결은 하나의 경로를 만듭니다. 전류가 여정을 완성하려면 그 경로의 모든 스위치가 닫혀야 합니다.
• 이 물리 법칙이 AND입니다. 모든 입력이 동시에 참일 때만 참입니다.
• 네 행의 진리표는 만들어 낸 것이 아닙니다. 하드웨어에서 직접 관찰한 것입니다.
• AND는 대칭적입니다. 전선 위 스위치의 순서는 결과를 바꾸지 않습니다.

릴레이로 컴퓨터 만들기 3편에서는 같은 두 스위치를 다르게 연결합니다. 이번에는 배터리에서 램프까지 각자 가지를 갖도록 병렬로 연결할 것입니다. 전류는 선택할 두 길을 갖게 되고, 어느 한 스위치만 닫혀도 램프가 켜집니다. 오늘 AND가 구리와 전선에서 자연스럽게 나타났듯 OR도 그렇게 나타납니다. 두 연산의 대비는 이 연산들이 실제로 무엇을 뜻하는지에 관한 근본적인 사실을 드러냅니다.

두 글을 읽고 두 가지 스위치 배치를 보았을 뿐인데, 게이트 기호 하나 보지 않고도 이미 논리의 뼈대가 드러나고 있습니다. 전선에서부터 쌓아 올리는 이유가 바로 이것입니다. 섀넌의 대수가 등장할 때쯤에는 그것이 위에서 내려온 수학처럼 느껴지지 않을 것입니다. 이미 알고 있던 언어처럼 느껴질 것입니다.

계속 만들어 볼 준비가 되었나요? 이 시리즈의 모든 회로는 **DigiSim Relay Lab**에 있습니다. 직접 조합을 배선하고, 직렬 사슬을 늘리며, 클릭 소리가 더해지는 것을 들어 보세요.