Reihenschaltungen: Die verborgene Logik von UND

Im ersten Beitrag dieser Reihe haben wir gelernt, dass ein Relais ein durch Elektrizität betätigter Schalter ist – ein Stromkreis steuert einen anderen. Dieses einzelne Bauteil deutet bereits Logik an. Doch ein Schalter allein kann nur eine Frage beantworten: an oder aus?

Damit eine Schaltung rechnen kann, müssen Schalter zusammenwirken. Dieser Beitrag behandelt die einfachste entsprechende Anordnung: zwei in Reihe geschaltete Schalter. Die Schaltung lässt sich in kurzer Zeit skizzieren, enthält jedoch bereits einen grundlegenden Baustein formaler Logik. Am Ende des Beitrags haben Sie die UND-Funktion nicht nur als Schaltzeichen, sondern als physikalische Folge des Strompfads durch zwei Unterbrechungsstellen kennengelernt.

Der wichtigste Beruf der Welt, an den sich niemand erinnert

Stellen Sie sich eine Telefonvermittlung Mitte der 1890er-Jahre vor. Reihen von Vermittlerinnen – meist junge Frauen mit Kopfhörern – sitzen vor langen Holztafeln voller nummerierter Buchsen, durchzogen von Kabeln und mit Signallampen versehen. Ein Anruf geht ein: Eine Lampe blinkt. Eine Vermittlerin verbindet zwei Buchsen mit einem Kabel, sodass zwei weit voneinander entfernte Personen miteinander sprechen können. Nach Gesprächsende entfernt sie das Kabel, und beide Buchsen werden wieder frei. Zu Stoßzeiten betreut sie ein Dutzend Gespräche gleichzeitig. Eine große Stadtvermittlung umfasst Hunderte Vermittlerinnen, Tausende Kabel und Zehntausende Buchsen – eine der größten Schaltanlagen ihrer Zeit –, wobei jede Verbindung manuell hergestellt wird.

Dieser menschliche Engpass störte mindestens einen Geschäftsmann aus Kansas City. Almon Strowger, Bestatter, war überzeugt, dass die örtliche Telefonistin für ihn bestimmte Anrufe stattdessen zu einem Konkurrenten leitete – vielleicht absichtlich, vielleicht auch nicht. Seine Antwort, 1891 patentiert, bestand darin, die Vermittlerin vollständig zu beseitigen: die automatische Strowger-Vermittlung, der erste praxistaugliche automatische Telefonvermittler der Welt. Anrufende wählten eine Nummer Ziffer für Ziffer, und eine Bank elektromagnetischer Schrittrelais – nahe Verwandte des Bauteils aus Beitrag 1 – drehte durch ihre Kontakte und stellte die Verbindung ohne menschliches Eingreifen her.

Strowger und die Ingenieure, die seine Erfindung in den folgenden Jahrzehnten verfeinerten, verdrahteten Tausende Relais in gezielten, berechneten Kombinationen. Die grundlegende Frage, die diese Kombinationen immer wieder, millionenfach pro Tag beantworten mussten, ist genau die Frage, die wir jetzt mit nur zwei Schaltern und einer Lampe beantworten werden: Welche Bedingungen müssen wahr sein, damit sich ein Stromkreis schließt, wenn der Strom eine Kette von Schaltern durchlaufen muss?

Ein einziger Weg, mehrere Torwächter

Beginnen Sie mit einer möglichst einfachen Schaltung aus Batterie, Leitung und Lampe. Unterbrechen Sie die Leitung an zwei Stellen und setzen Sie an jeder Unterbrechung einen Messerschalter ein. Bezeichnen Sie diese als Schalter A und Schalter B.

Der Strom aus der Batterie hat genau eine Aufgabe: vom Pluspol durch den Draht, durch den Glühfaden der Lampe und zurück zum Minuspol zu fließen. Um diese Strecke zu vollenden, muss er sowohl die Lücke an Schalter A als auch die Lücke an Schalter B passieren. Es gibt nur eine Straße, und jeder Schalter ist ein Tor auf dieser Straße.

Gehen wir die Möglichkeiten durch:

• A offen, B offen. Zwei Blockaden. Die Straße ist zweimal unterbrochen. Lampe aus.
• A geschlossen, B offen. Der Strom passiert Schalter A und trifft sofort auf die offene Lücke bei B. Vollständig gestoppt. Lampe aus.
• A offen, B geschlossen. Der Strom könnte Schalter B passieren, doch er gelangt nicht einmal dorthin – Schalter A blockiert den Weg zuvor. Lampe aus.
• A geschlossen, B geschlossen. Jedes Tor ist geöffnet. Der Weg von der Batterie zur Lampe und zurück ist frei. Strom fließt. Lampe an.

Drei von vier Kombinationen scheitern. Nur eine gelingt. Der Grund liegt in der Struktur: Eine Reihenschaltung hat einen einzigen Weg, und jeder Schalter auf diesem Weg muss mitwirken. Ein einziger widersprechender Schalter – irgendwo in der Kette – unterbricht die einzige Straße.

Für ein anschauliches Verständnis dieser Logik genügt ein alltägliches Beispiel: Ein Schloss erfordert zwei Schlüssel oder ein Dokument zwei Unterschriften. Beide Bedingungen müssen erfüllt sein.

Die Wahrheitstabelle: UND in physischer Gestalt

Formulieren wir diese Regel in der in der Digitaltechnik üblichen Kurzform. Betrachten Sie einen geschlossenen Schalter als 1 (leitend, wahr) und einen offenen Schalter als 0 (nicht leitend, falsch). Ordnen Sie der Lampe den Wert 1 zu, wenn sie leuchtet, und 0, wenn sie ausgeschaltet ist. Für zwei binäre Schalter ergeben sich genau vier Kombinationen:

Eine von vier Zeilen erzeugt eine leuchtende Lampe. Bei jeder anderen Kombination bleibt sie dunkel. Die Lampe ist die physische Umsetzung von logischem UND – der Operation, die nur wahr ist, wenn alle ihre Eingänge gleichzeitig wahr sind.

Dieselbe vierzeilige Tabelle findet sich im Datenblatt jedes UND-Gatters. Ihr Ursprung ist nun nachvollziehbar: Die Zeilen beschreiben nicht nur eine abstrakte Definition, sondern das beobachtbare Verhalten eines Strompfads mit zwei Unterbrechungsstellen.

Beachten Sie außerdem die Symmetrie der Tabelle. Die zweite und dritte Zeile ergeben beide 0 und gehen durch Vertauschen der Eingänge ineinander über. Ein geschlossener Schalter A bei offenem B führt zum selben Ergebnis wie ein geschlossener Schalter B bei offenem A. In einer Reihenschaltung ändert die Position entlang der Leitung die logische Funktion nicht. Die Bedingung bleibt unverändert: Beide Schalter müssen geschlossen sein. Die UND-Funktion ist kommutativ.

Praktischer Versuch – Verhalten vorhersagen und prüfen

Unten sehen Sie eine laufende Simulation zweier Messerschalter, die mit einer Lampe in Reihe geschaltet sind. Treffen Sie vor der ersten Bedienung für jede der vier Zeilen der Wahrheitstabelle eine Vorhersage. Bei welchen Kombinationen erwarten Sie eine leuchtende Lampe, bei welchen eine ausgeschaltete?

Durchlaufen Sie anschließend alle vier Kombinationen und vergleichen Sie jeden beobachteten Zustand mit der entsprechenden Tabellenzeile.

Achten Sie bei der Durchführung insbesondere auf drei Aspekte:

1. Öffnen Sie nach dem Schließen beider Schalter nur einen davon. Solange beide geschlossen sind, leuchtet die Lampe. Öffnen Sie ausschließlich Schalter A, wird der Strompfad unterbrochen und die Lampe erlischt, obwohl Schalter B geschlossen bleibt. Ein einzelner offener Schalter an beliebiger Stelle einer Reihenschaltung verhindert den Stromfluss im gesamten Zweig. Dieses Verhalten folgt unmittelbar aus der Unterbrechung des Stromkreises.

2. Prüfen Sie beide Schaltreihenfolgen. Schließen Sie zuerst B und danach A; wiederholen Sie den Versuch anschließend in umgekehrter Reihenfolge. Beide Abläufe enden mit einer leuchtenden Lampe. In den Zwischenzuständen, in denen jeweils nur ein Schalter geschlossen ist, bleibt sie ausgeschaltet. Die Wahrheitstabelle ist bezüglich der Eingänge symmetrisch: Für die UND-Funktion ist die Reihenfolge der Eingangssignale unerheblich; entscheidend ist allein, ob beide gleichzeitig gesetzt sind.

3. Schalten Sie den Ton ein und zählen Sie die Kontaktgeräusche. Jeder modellierte Zustandswechsel erzeugt ein Klickgeräusch. Beim sequenziellen Durchlaufen der vier Tabellenzeilen ergeben sich je nach gewählter Zustandsfolge entsprechende Schaltgeräusche. Bei Relaisrechnern der 1940er-Jahre konnten Fachleute auffällige Geräuschmuster als Hinweis auf eine Fehlfunktion wahrnehmen, bevor eine Anzeige den Fehler bestätigte.

Warum ein Reihendraht es verdient, gründlich verstanden zu werden

Wird die UND-Verknüpfung in einem Logikschaltbild durch das D-förmige Schaltzeichen mit gerader Eingangsseite dargestellt, entsteht eine nützliche Abstraktion. Sie ermöglicht die Betrachtung Hunderter Gatter, ohne jeden einzelnen Strompfad verfolgen zu müssen. Dabei tritt jedoch der physikalische Ursprung der Verknüpfungsregel in den Hintergrund.

UND ist nicht willkürlich. Es ist das unvermeidliche Verhalten eines einzigen Wegs mit mehreren Torwächtern – und diese Verankerung ist für das Folgende wichtig. UND-Verknüpfungen zu verketten heißt einfach, derselben Reihenschaltung weitere Schalter hinzuzufügen. Drei Schalter in Reihe: Alle müssen geschlossen sein. $n$ Schalter: alle $n$. Die Wahrheitstabelle wächst auf $2^n$ Zeilen, doch die Lampe leuchtet weiterhin in genau einer: der Zeile, in der jeder Eingang 1 ist.

Claude Shannon machte dies in seiner Masterarbeit von 1937 am MIT rigoros, die heute regelmäßig als die bedeutendste Masterarbeit aller Zeiten bezeichnet wird. Shannon zeigte – formal, mit Beweisen –, dass sich jede Schaltung aus Schaltern als Gleichung der booleschen Algebra ausdrücken lässt und jeder boolesche Ausdruck als Schaltung aus Schaltern umgesetzt werden kann. Die Reihenschaltung ist in Shannons Notation schlicht das Produkt $A \cdot B$: eine Multiplikation, die nur dann 1 ergibt, wenn beide Faktoren 1 sind. In seiner Algebra werteten die Telefonistinnen der 1890er Jahre Boolesche Ausdrücke in Echtzeit aus, zehntausendfach pro Stunde, ohne es zu wissen.

Shannons Einsicht wird jeden Beitrag von hier bis zum Ende der Reihe tragen. Dass sie überhaupt funktionieren konnte, liegt daran, dass der Schalter – in Reihe geschaltet – bereits wie eine mathematische Operation funktionierte, bevor sie jemand aufschrieb. Wir haben dem Stromkreis UND nicht auferlegt. Wir haben es aus ihm herausgelesen.

Zentrale Erkenntnisse und nächste Schritte

Ergänzen Sie die Erkenntnisse aus Beitrag 1 um folgende Punkte:

• Reihenverdrahtung schafft einen einzigen Weg. Jeder Schalter auf diesem Weg muss geschlossen sein, damit der Strom die Strecke vollendet.
• Diese physische Regel ist UND. Wahr nur, wenn alle Eingänge gleichzeitig wahr sind.
• Die Wahrheitstabelle mit vier Zeilen ist nicht erfunden – sie wird unmittelbar an der Hardware beobachtet.
• UND ist symmetrisch. Die Reihenfolge der Schalter auf dem Draht ändert das Ergebnis nicht.

In Beitrag 3 von Einen Computer aus Relais bauen nehmen wir dieselben zwei Schalter und verdrahten sie anders – diesmal parallel, jeweils auf einem eigenen Zweig von Batterie zu Lampe. Der Strom hat zwei Wege zur Auswahl, und die Lampe leuchtet, wenn sich einer der beiden Schalter schließt. ODER entsteht aus Kupfer und Draht ebenso natürlich, wie UND heute entstanden ist; der Kontrast zwischen beiden zeigt etwas Grundlegendes darüber, was diese Operationen tatsächlich bedeuten.

Nach zwei Beiträgen und zwei Schaltungsmustern zeichnen sich bereits die Grundlagen der Logik ab, noch bevor ein Gattersymbol erforderlich ist. Der Aufbau aus einzelnen Leitungen macht den physikalischen Ursprung sichtbar. Shannons Algebra erscheint dadurch nicht als losgelöste mathematische Vorgabe, sondern als formale Beschreibung eines bereits bekannten Verhaltens.

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